Z-Wert-Rechner
Ermitteln Sie, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt, und sein Perzentil unter der Normalverteilungskurve.
Gut zu wissen
Dieser Z-Wert-Rechner wandelt einen Rohwert in einen Standardwert um, indem er misst, wie viele Standardabweichungen er vom Mittelwert entfernt liegt, und verwendet dabei die Formel z = (x − Mittelwert) / SD. Neben dem Z-Wert selbst gibt er das Perzentil unter der Standardnormalverteilungskurve aus sowie den Anteil der Werte, die unter und über Ihrem Wert liegen, und eine leicht verständliche Angabe zu seiner Position (zum Beispiel „2,00 SD über dem Mittelwert"). Er richtet sich an Studierende, Forschende, Lehrkräfte und alle, die einen einzelnen Datenpunkt mit einem bekannten Mittelwert und einer bekannten Standardabweichung vergleichen möchten.
Greifen Sie immer dann darauf zurück, wenn Sie eine Zahl in einen Kontext setzen müssen: um eine Prüfungsnote im Vergleich zum Klassendurchschnitt zu beurteilen, um eine ungewöhnlich hohe oder niedrige Messung zu kennzeichnen, um Werte mit unterschiedlichen Skalen zu vergleichen oder um Ausreißer zu erkennen. Da ein Z-Wert einheitenlos ist, ermöglicht er den Vergleich von Äpfeln mit Birnen, etwa wie eine Körpergröße im Vergleich zu einem Gewicht innerhalb der jeweiligen Verteilung einzuordnen ist.
Um das Ergebnis zu lesen, achten Sie auf Vorzeichen und Größe. Ein positives z bedeutet über dem Mittelwert und ein negatives z bedeutet darunter; etwa 68 % der Werte liegen zwischen z = −1 und +1, etwa 95 % zwischen −2 und +2 und etwa 99,7 % zwischen −3 und +3. Das Perzentil gibt den Rang an: Ein z von 2,00 entspricht etwa dem 97,7. Perzentil, was bedeutet, dass der Wert etwa 97,7 % der Verteilung übertrifft.
Ein wichtiger Vorbehalt: Die Werte für Perzentil, „unter" und „über" setzen voraus, dass Ihre Daten annähernd normalverteilt sind, behandeln Sie sie daher bei schiefen oder kleinen Stichproben als Schätzungen. Stellen Sie außerdem sicher, dass Sie den Mittelwert und die Standardabweichung der Grundgesamtheit verwenden, zu der der Wert tatsächlich gehört, und beachten Sie, dass die Standardabweichung größer als null sein muss, andernfalls liefert der Rechner kein Ergebnis.
Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet ein negativer Z-Wert?
Ein negativer Z-Wert bedeutet, dass der Wert unter dem Mittelwert liegt. Zum Beispiel bedeutet z = -1, dass der Wert eine Standardabweichung unter dem Mittelwert liegt, etwa beim 15,87. Perzentil.
Warum setzt das Perzentil eine Normalverteilung voraus?
Das Perzentil wird aus der kumulativen Standardnormalverteilung (der normalen CDF) berechnet. Es ist nur dann genau, wenn Ihre Daten annähernd normalverteilt sind; bei schiefen Daten behandeln Sie das Perzentil als Schätzung.
Werden meine Daten irgendwohin hochgeladen?
Nein — dieser Rechner läuft vollständig in Ihrem Browser; es wird nichts hochgeladen.
Ist er kostenlos?
Ja, völlig kostenlos, ohne Anmeldung, ohne Werbung und ohne Einschränkungen.
Wie berechnet man einen Z-Wert von Hand?
Subtrahieren Sie den Mittelwert von Ihrem Wert und teilen Sie dann durch die Standardabweichung: z = (x − Mittelwert) / SD. Zum Beispiel ergibt sich mit x = 130, Mittelwert = 100 und SD = 15: z = (130 − 100) / 15 = 2,00.
Was ist ein guter Z-Wert?
Es gibt keinen allgemeingültig „guten" Z-Wert; er hängt vom Kontext ab. Werte zwischen etwa −2 und +2 sind üblich (sie decken rund 95 % einer Normalverteilung ab), während Werte jenseits von ±3 selten sind und oft als Ausreißer behandelt werden.
Was ist der Unterschied zwischen einem Z-Wert und einem Perzentil?
Ein Z-Wert misst, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist, während ein Perzentil angibt, welcher Prozentsatz der Verteilung unter diesem Wert liegt. Das Perzentil wird aus dem Z-Wert mithilfe der kumulativen Normalverteilung abgeleitet.
Kann ein Z-Wert größer als 3 oder kleiner als -3 sein?
Ja. Z-Werte haben keine feste Grenze, aber in einer Normalverteilung liegen nur etwa 0,3 % der Werte jenseits von ±3, sodass solche Werte selten sind und meist auf extreme Werte oder Ausreißer hindeuten.
Sollte ich für einen Z-Wert die Stichproben- oder die Populationsstandardabweichung verwenden?
Ein Standard-Z-Wert verwendet den Mittelwert und die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Wenn Sie nur eine Stichprobe haben, können Sie die Stichprobenkennwerte als Schätzwerte verwenden, sollten aber beachten, dass der resultierende Z-Wert und das Perzentil dann Näherungen sind.
Was bedeutet ein Z-Wert von 0?
Ein Z-Wert von 0 bedeutet, dass der Wert genau dem Mittelwert entspricht. Er entspricht dem 50. Perzentil in einer Normalverteilung, mit der Hälfte der Werte darunter und der Hälfte darüber.
Wie wandelt man einen Z-Wert in ein Perzentil um?
Wenden Sie die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung (die normale CDF) auf den Z-Wert an, die den Anteil der darunter liegenden Werte zurückgibt; multiplizieren Sie mit 100, um das Perzentil zu erhalten. Zum Beispiel entspricht z = 1,00 etwa dem 84,13. Perzentil.
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