Wurzelrechner
Finde die n-te Wurzel einer Zahl – einschließlich ungerader Wurzeln negativer Zahlen – mit dem Ergebnis als Potenzprobe dargestellt.
Gut zu wissen
Der Wurzelrechner findet die n-te Wurzel jeder Zahl, die du eingibst – standardmäßig die Quadratwurzel, aber auch Kubikwurzeln, vierte Wurzeln oder jeden beliebigen Grad, den du wählst. Du gibst einen Wert (x) und einen Wurzelgrad (n) ein, und er liefert die reelle Zahl, die – in die Potenz n erhoben – wieder x ergibt. Er ist gedacht für Schülerinnen und Schüler, die sich mit Wurzeln und Potenzen befassen, für alle, die in Algebra oder Geometrie eine Potenz umkehren möchten, und für Menschen, die einfach schnell und unkompliziert eine Wurzel brauchen, ohne eine Tabellenkalkulation zu öffnen.
Greife darauf zurück, wann immer du das Ergebnis einer wiederholten Multiplikation hast und die Basis zurückhaben möchtest: eine Kantenlänge aus einem Volumen bestimmen (Kubikwurzel), eine Wachstumsrate aus einem Mehrperiodenfaktor zurückgewinnen oder Ausdrücke vereinfachen, bei denen eine Wurzel unter dem n steht. Setzt du n auf 2, erhältst du die vertraute Quadratwurzel; n auf 3 ergibt die Kubikwurzel; größere oder anders gelagerte Fälle ändern einfach das Feld für den Grad.
Das Ergebnis wird auf drei unterstützende Weisen dargestellt, damit du ihm vertrauen kannst. Die große Zahl ist die n-te Wurzel selbst; die Kennzahl „Probe (Wurzel^n)“ erhebt diese Antwort wieder in die Potenz n, damit du bestätigen kannst, dass sie deinen ursprünglichen Wert trifft; und „Als Exponent“ stellt die Operation als x hoch 1/n dar, was dasselbe in Potenzschreibweise ist. Wenn du „keine reelle Wurzel“ siehst, teilt dir der Rechner mit, dass eine gerade Wurzel einer negativen Zahl keinen reellen Wert hat.
Ein praktischer Hinweis: Ergebnisse werden zur Anzeige gerundet (auf etwa zehn signifikante Stellen), sodass eine Wurzel, die eigentlich eine glatte ganze Zahl sein sollte, gelegentlich ein kleines Rundungsartefakt zeigen kann und der Probewert bei irrationalen Wurzeln nicht immer ganz exakt ist. Negative Eingaben liefern nur dann eine reelle Antwort, wenn n ungerade ist – bei geraden Graden negativer Zahlen bräuchtest du komplexe Zahlen, die dieses Tool bewusst nicht abdeckt.
Häufig gestellte Fragen
Warum zeigt ein negativer Wert manchmal „keine reelle Wurzel“ an?
Gerade Wurzeln (wie die Quadrat- oder vierte Wurzel) einer negativen Zahl haben keinen reellen Wert, weil keine reelle Zahl, die in eine gerade Potenz erhoben wird, negativ ist. Der Rechner gibt nur dann eine reelle Wurzel eines negativen Werts zurück, wenn der Grad n ungerade ist (z. B. ist die Kubikwurzel von -8 gleich -2).
Wie berechne ich mit diesem Tool eine Quadratwurzel?
Lass den Wurzelgrad n auf 2 (dem mathematischen Standardfall). Die Quadratwurzel des Werts wird dann angezeigt, zum Beispiel ergibt der Wert 16 mit n = 2 das Ergebnis 4.
Werden meine Daten irgendwohin hochgeladen?
Nein – dieser Rechner läuft vollständig in deinem Browser; nichts wird hochgeladen.
Ist er kostenlos?
Ja, völlig kostenlos, ohne Anmeldung, ohne Werbung und ohne Einschränkungen.
Was ist die n-te Wurzel einer Zahl?
Die n-te Wurzel von x ist die Zahl, die – n-mal mit sich selbst multipliziert – x ergibt. Zum Beispiel ist die vierte Wurzel von 81 gleich 3, weil 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Sie ist die Umkehrung des Erhebens einer Zahl in die n-te Potenz.
Wie schreibt man eine Wurzel als Exponent?
Die n-te Wurzel von x ist dasselbe wie x hoch 1/n. Die Kubikwurzel von x entspricht also x^(1/3) und die Quadratwurzel x^(1/2). Deshalb zeigt das Tool neben der Antwort auch eine Darstellung „Als Exponent“ an.
Kann man die Wurzel eines Bruchs oder einer Dezimalzahl ziehen?
Ja. Die Wurzel eines Bruchs oder einer Dezimalzahl folgt derselben Regel wie bei ganzen Zahlen; so ist beispielsweise die Quadratwurzel von 0,25 gleich 0,5. Gib einfach den Dezimalwert und den gewünschten Grad ein.
Was ist der Unterschied zwischen einer Quadratwurzel und einer Kubikwurzel?
Eine Quadratwurzel (Grad 2) findet eine Zahl, die zweimal mit sich selbst multipliziert den Wert ergibt, während eine Kubikwurzel (Grad 3) eine Zahl findet, die dreimal mit sich selbst multipliziert den Wert ergibt. Quadratwurzeln negativer Zahlen haben keinen reellen Wert, Kubikwurzeln negativer Zahlen dagegen schon.
Warum hat die Kubikwurzel einer negativen Zahl eine reelle Antwort, die Quadratwurzel aber nicht?
Die Kubikwurzel hat einen ungeraden Grad, und eine negative Zahl bleibt, in eine ungerade Potenz erhoben, negativ, sodass eine reelle negative Wurzel existiert. Die Quadratwurzel hat einen geraden Grad, und keine reelle Zahl im Quadrat kann negativ sein, daher gibt es keine reelle Quadratwurzel einer negativen Zahl.
Ist die n-te Wurzel dasselbe wie das Teilen durch n?
Nein. Das Teilen durch n zerlegt eine Zahl in n gleiche Teile, während die n-te Wurzel eine Basis findet, die – n-mal mit sich selbst multipliziert – die Zahl wieder ergibt. Zum Beispiel ist 1/3 von 27 gleich 9, aber die Kubikwurzel von 27 ist 3.
Wie kann ich prüfen, ob ein Wurzelergebnis korrekt ist?
Erhebe das Ergebnis wieder in die Potenz n und sieh nach, ob du den ursprünglichen Wert erhältst. Der Rechner tut dies automatisch in seinem Feld „Probe (Wurzel^n)“, wobei irrationale Ergebnisse aufgrund der Rundung geringfügig abweichen können.
Hat jede Zahl nur eine reelle n-te Wurzel?
Bei ungeraden Graden hat jede reelle Zahl genau eine reelle n-te Wurzel. Bei geraden Graden haben positive Zahlen technisch gesehen zwei reelle Wurzeln (eine positive und eine negative), und dieses Tool gibt die positive Hauptwurzel an.
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