Rechner für die Mitternachtsformel
Geben Sie a, b und c ein, um die Lösungen einer beliebigen quadratischen Gleichung samt Diskriminante und Scheitelpunkt zu finden.
Gut zu wissen
Dieser Rechner löst jede quadratische Gleichung, die in der Normalform ax² + bx + c = 0 geschrieben ist. Sie geben die drei Koeffizienten ein — a (den x²-Term), b (den x-Term) und c (die Konstante) — und er liefert sofort die beiden Lösungen, die Diskriminante, eine allgemein verständliche Bezeichnung für die Art der Lösungen sowie die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel. Er ist gedacht für Schülerinnen und Schüler der Algebra und der Oberstufenmathematik, die Hausaufgaben überprüfen, für Lehrkräfte, die Beispiele erstellen, und für alle, die schnell und zuverlässig eine Lösung benötigen, ohne eine Grafiksoftware zu verwenden.
Greifen Sie immer dann darauf zurück, wenn Sie sonst Zahlen von Hand in die Mitternachtsformel einsetzen würden: um herauszufinden, wo eine Parabel die x-Achse schneidet, um ein widerspenstiges Trinom zu faktorisieren, um eine Aufgabe zum waagerechten Wurf oder zur Flächenberechnung zu lösen oder um eine Antwort vor einer Klausur zu überprüfen. Da er die Diskriminante separat anzeigt, eignet er sich auch hervorragend, um schnell vorherzusagen, wie viele reelle Lösungen eine Gleichung hat, bevor Sie sich an das Lösen machen.
Um das Ergebnis zu lesen, beginnen Sie mit der Diskriminante: Ein positiver Wert bedeutet zwei verschiedene reelle Lösungen, null bedeutet eine doppelte Lösung, und ein negativer Wert ergibt ein komplexes konjugiertes Paar, das mit einem i-Term geschrieben wird. Der Scheitelpunkt (h, k) gibt den Wendepunkt der Parabel an — ist a positiv, so ist dieser Punkt das Minimum, ist a negativ, das Maximum. Die beiden Lösungen liegen stets symmetrisch zur senkrechten Geraden x = h, was eine praktische Plausibilitätsprüfung Ihrer Antworten ist.
Ein praktischer Hinweis: Geben Sie die Koeffizienten genau ein, einschließlich des Minuszeichens, denn b = −3 und b = 3 ergeben völlig unterschiedliche Lösungen. Bruch- oder Dezimaleingaben sind kein Problem, und die Ergebnisse werden auf sechs Nachkommastellen gerundet, sodass ein als saubere ganze Zahl wie 2 angezeigter Wert bei unhandlichen Koeffizienten tatsächlich eine gerundete Näherung sein kann. Wenn Sie a auf 0 setzen, ist die Gleichung nicht mehr quadratisch, und das Tool wechselt unauffällig zur Lösung des linearen Falls x = −c/b.
Häufig gestellte Fragen
Was sagt mir die Diskriminante?
Die Diskriminante b²−4ac bestimmt die Art der Lösungen: positiv bedeutet zwei verschiedene reelle Lösungen, null bedeutet eine doppelte reelle Lösung und negativ bedeutet zwei komplexe konjugierte Lösungen.
Was passiert, wenn ich a = 0 eingebe?
Bei a = 0 ist die Gleichung nicht mehr quadratisch, sondern linear (bx + c = 0), sodass der Rechner sie stattdessen als x = −c/b löst und Diskriminante und Scheitelpunkt überspringt.
Werden meine Daten irgendwohin hochgeladen?
Nein — dieser Rechner läuft vollständig in Ihrem Browser; es wird nichts hochgeladen.
Ist er kostenlos?
Ja, völlig kostenlos, ohne Anmeldung, ohne Werbung und ohne Einschränkungen.
Wie findet man die Lösungen einer quadratischen Gleichung?
Verwenden Sie die Mitternachtsformel x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a), nachdem Sie die Gleichung in die Normalform ax² + bx + c = 0 gebracht haben. Setzen Sie Ihre drei Koeffizienten ein, berechnen Sie zuerst den Wert unter der Wurzel und werten Sie dann den Plus- und den Minusfall aus, um die beiden Lösungen zu erhalten.
Was ist der Scheitelpunkt einer Parabel und wie wird er berechnet?
Der Scheitelpunkt ist der Wendepunkt der Parabel mit der x-Koordinate −b/2a und der y-Koordinate c − b²/4a. Er ist der tiefste Punkt, wenn a positiv ist, und der höchste Punkt, wenn a negativ ist.
Kann eine quadratische Gleichung nur eine Lösung haben?
Ja. Wenn die Diskriminante b²−4ac genau null ist, gibt es eine doppelte reelle Lösung bei x = −b/2a, und die Parabel berührt die x-Achse in ihrem Scheitelpunkt, anstatt sie zu schneiden.
Was bedeutet es, wenn eine quadratische Gleichung komplexe Lösungen hat?
Es bedeutet, dass die Diskriminante negativ ist, sodass die Parabel die x-Achse nie schneidet und es keine reellen Lösungen gibt. Die Lösungen treten als komplexes konjugiertes Paar der Form p + qi und p − qi auf, wobei p = −b/2a ist.
Ist die Mitternachtsformel dasselbe wie das Faktorisieren?
Sie lösen dieselbe Gleichung und liefern dieselben Lösungen, aber die Mitternachtsformel funktioniert immer, während das Faktorisieren nur dann leichtfällt, wenn die Lösungen rational sind. Die Diskriminante verrät Ihnen, ob eine saubere Faktorisierung überhaupt möglich ist.
Wie schreibt man eine quadratische Gleichung in der Normalform?
Bringen Sie jeden Term auf eine Seite, sodass die Gleichung gleich null ist, und ordnen Sie sie als ax² + bx + c = 0 an, wobei a, b und c Konstanten sind und a ungleich null ist. Fassen Sie zuerst gleichartige Terme zusammen, sodass jede Potenz von x nur einmal vorkommt.
Was passiert, wenn der Leitkoeffizient a negativ ist?
Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt ist ihr höchster Punkt, aber die Lösungen werden auf genau dieselbe Weise mit der Mitternachtsformel ermittelt. Ein negatives a ändert nicht, ob die Lösungen reell oder komplex sind; das bestimmt allein die Diskriminante.
Haben quadratische Gleichungen immer zwei Lösungen?
Zählt man Vielfachheit und komplexe Zahlen mit, hat eine quadratische Gleichung immer genau zwei Lösungen. Das können zwei verschiedene reelle Zahlen, eine doppelte reelle Zahl oder ein Paar komplexer konjugierter Zahlen sein, je nach Vorzeichen der Diskriminante.
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