Permutations- und Kombinationsrechner
Berechne Permutationen (nPr) und Kombinationen (nCr) für beliebige n und r sofort.
Gut zu wissen
Dieser Rechner nimmt zwei ganze Zahlen – n, die Gesamtzahl der Elemente, die du hast, und r, die Anzahl der ausgewählten Elemente – und gibt sofort sowohl die Anzahl der Permutationen (nPr) als auch die Anzahl der Kombinationen (nCr) zurück. Er ist gedacht für Schülerinnen und Schüler, die Hausaufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung oder diskreten Mathematik bearbeiten, für Lehrkräfte, die Lösungsschlüssel überprüfen, und für alle, die schnell zählen möchten, auf wie viele Arten eine Auswahl getroffen werden kann, ohne Fakultäten von Hand auszuschreiben.
Greife darauf zurück, wann immer die Frage lautet: „Auf wie viele Arten kann ich diese anordnen oder auswählen?“ Verwende nPr, wenn die Reihenfolge der Auswahl das Ergebnis verändert – etwa beim Setzen von Personen in eine Reihe, beim Vergeben von Gold-, Silber- und Bronzemedaillen oder beim Erzeugen eines Codes, bei dem sich 1-2-3 von 3-2-1 unterscheidet. Verwende nCr, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt – etwa beim Austeilen eines Pokerblatts, beim Auswählen eines Ausschusses oder beim Tippen von Lottozahlen. Das Tool zeigt beide nebeneinander, sodass du sie auf einen Blick vergleichen kannst.
Um das Ergebnis abzulesen, schau dir die große nPr-Zahl und den nCr-Wert daneben an und überprüfe dann die beiden Formelzeilen, die deine tatsächlichen Werte n und r in n!/(n-r)! und n!/(r!(n-r)!) einsetzen, damit du siehst, wie die Zahl entstanden ist. nPr wird immer der größere Wert sein (oder gleich groß, wenn r gleich 0 oder 1 ist), denn jeder ungeordneten Kombination entsprechen r! verschiedene geordnete Anordnungen.
Ein praktischer Hinweis: Die Anzahlen wachsen extrem schnell, daher werden sehr große Eingaben in wissenschaftlicher Notation dargestellt (zum Beispiel 1.234560e+18), sobald sie etwa 15 Stellen überschreiten, wo die gewöhnliche Ganzzahl-Genauigkeit endet. Der Rechner rechnet iterativ, um einen Fakultätsüberlauf zu vermeiden, und kürzt nCr intern, doch behandle Ergebnisse oberhalb dieser Schwelle als genaue Näherungswerte und nicht als ziffergenaue ganze Zahlen, und beachte, dass er ausschließlich nicht-negative ganze Zahlen erwartet.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen nPr und nCr?
nPr zählt geordnete Anordnungen (die Reihenfolge ist wichtig), während nCr ungeordnete Auswahlen zählt (die Reihenfolge spielt keine Rolle). Da jede Kombination auf r! Arten angeordnet werden kann, gilt nPr = nCr x r!.
Warum wird das Ergebnis 0, wenn r größer als n ist?
Du kannst nicht mehr Elemente auswählen, als verfügbar sind, daher sind sowohl nPr als auch nCr als 0 definiert, wenn r > n. Der Rechner fängt diesen Fall ab, anstatt einen Fehler zu erzeugen.
Werden meine Daten irgendwohin hochgeladen?
Nein – dieser Rechner läuft vollständig in deinem Browser; es wird nichts hochgeladen.
Ist er kostenlos?
Ja, völlig kostenlos, ohne Anmeldung, ohne Werbung und ohne Einschränkungen.
Was ergibt nPr, wenn r gleich n ist?
Wenn r gleich n ist, ergibt nPr n! (n Fakultät), denn du ordnest jedes verfügbare Element der Reihe nach an. Im selben Fall ergibt nCr 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, die gesamte Menge auszuwählen.
Was ergibt nCr, wenn r gleich 0 ist?
Sowohl nCr als auch nPr ergeben 1, wenn r gleich 0 ist. Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auszuwählen – die leere Auswahl –, weshalb 0! als 1 definiert ist.
Wie berechnet man Permutationen, ohne die Fakultät einer riesigen Zahl zu bilden?
Du multiplizierst nur r absteigende Faktoren: n mal (n-1) mal (n-2) bis hinunter zu (n-r+1). Dieses iterative Produkt liefert nPr direkt und vermeidet die getrennte Berechnung der vollständigen n! und (n-r)!, wodurch die Zahlen handhabbar bleiben.
Ist nPr immer größer als nCr?
Ja, nPr ist für dieselben n und r größer oder gleich nCr, denn nPr = nCr mal r!. Sie sind nur gleich, wenn r gleich 0 oder 1 ist, da sowohl 0! als auch 1! gleich 1 sind.
Sollte ich für ein Lotteriespiel Permutationen oder Kombinationen verwenden?
Die meisten Lotterien verwenden Kombinationen (nCr), weil die Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen werden, keine Rolle spielt. Permutationen würdest du nur verwenden, wenn das Spiel verlangt, die Zahlen in einer bestimmten Ziehungsreihenfolge zu treffen.
Wie lautet der formelmäßige Zusammenhang zwischen nPr und nCr?
nPr = nCr × r!, was sich zu nCr = nPr / r! umformen lässt. Das gilt, weil jede ungeordnete Kombination aus r Elementen auf r! verschiedene geordnete Arten angeordnet werden kann.
Können n oder r eine Dezimalzahl oder negative Zahl sein?
Nein. Permutationen und Kombinationen sind nur für nicht-negative ganze Zahlen definiert, daher erwartet dieser Rechner ganze Zahlen und behandelt negative oder gebrochene Eingaben als ungültig.
Auf wie viele Arten kann man 5 Elemente zu je 2 anordnen?
Es gibt 20 geordnete Anordnungen (5P2 = 5 × 4 = 20) und 10 ungeordnete Auswahlen (5C2 = 10). Die Anzahl der Permutationen ist genau r! = 2-mal größer als die Anzahl der Kombinationen.
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