Zahlenfolgen-Rechner
Erstelle eine arithmetische, geometrische oder Fibonacci-Folge und sieh sofort jedes Glied sowie die Gesamtsumme.
Gut zu wissen
Der Zahlenfolgen-Rechner verwandelt drei Eingaben – ein Anfangsglied, einen Schrittwert und eine Gliederanzahl – in eine vollständige Folge und ihre Summe. Du wählst eines von drei Mustern: arithmetisch (jedes Glied addiert eine feste gemeinsame Differenz), geometrisch (jedes Glied multipliziert mit einem festen Verhältnis) oder Fibonacci-artig (jedes Glied ist die Summe der beiden vorherigen, ausgehend von zwei Startwerten). Er richtet sich an Schülerinnen und Schüler, die Hausaufgaben überprüfen, an Lehrkräfte, die Beispiele erstellen, und an alle, die die Glieder aufgelistet brauchen statt nur ein Formelergebnis.
Greife dazu, wenn du die tatsächlichen Zahlen sehen möchtest, statt Werte von Hand in n/2 × (2a + (n−1)d) einzusetzen, oder wenn du schnell prüfen willst, ob ein Muster so wächst, wie du es erwartest. Praktisch ist er, um eine Tabellenspalte zu verifizieren, Beispieldaten zu erzeugen oder zu bestätigen, wo eine geometrische Reihe zu explodieren beginnt im Gegensatz dazu, wo sie in ihrer Größe konvergiert.
Lies die Ausgabe von oben nach unten: Die große Zahl ist die Summe aller Glieder, das Feld „Glieder“ liefert die vollständige, durch Kommas getrennte Liste zum Kopieren, und die drei Kennzahlen zeigen die Anzahl, das letzte Glied und den Durchschnitt (Summe geteilt durch Anzahl). Achte auf die Beschriftung des mittleren Feldes – sie wechselt zu „Gemeinsame Differenz (d)“ für arithmetisch, „Gemeinsames Verhältnis (r)“ für geometrisch und „Zweites Glied (b)“ für Fibonacci-artig, sodass dasselbe Feld je nach gewähltem Typ Unterschiedliches bedeutet.
- Bei geometrischen Folgen wächst ein Verhältnis über 1 schnell, ein Verhältnis zwischen 0 und 1 schrumpft gegen null, und ein negatives Verhältnis wechselt das Vorzeichen.
Ein praktischer Vorbehalt: Die Gliederanzahl ist auf 1.000 begrenzt, und sehr große geometrische Verhältnisse oder lange Fibonacci-Läufe können in „zu groß“ überlaufen, woraufhin die Summe keine endliche, verlässliche Zahl mehr ist. Werte werden außerdem für die Anzeige auf zehn Nachkommastellen gerundet, behandle die letzten Ziffern langer Dezimalzahlen daher als Näherung und nicht als exakt.
Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet das zweite Feld bei einer Fibonacci-Folge?
Beim Fibonacci-artigen Typ ist das erste Feld das erste Glied und das zweite Feld das zweite Glied. Jedes Glied danach ist die Summe der beiden vorherigen, sodass erstes Glied 1 und zweites Glied 1 die Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8 ergibt.
Wie wird die Summe berechnet?
Der Rechner addiert jedes erzeugte Glied. Das entspricht den üblichen geschlossenen Formeln: n/2 * (2a + (n-1)d) für arithmetisch und a*(r^n - 1)/(r - 1) für geometrisch (a*n, wenn das Verhältnis 1 ist).
Werden meine Daten irgendwohin hochgeladen?
Nein – dieser Rechner läuft vollständig in deinem Browser; nichts wird hochgeladen.
Ist er kostenlos?
Ja, völlig kostenlos, ohne Anmeldung, ohne Werbung und ohne Beschränkungen.
Was ist der Unterschied zwischen einer arithmetischen und einer geometrischen Folge?
Bei einer arithmetischen Folge addierst du denselben festen Betrag (die gemeinsame Differenz), um jedes nächste Glied zu erhalten, sodass sie geradlinig wächst. Bei einer geometrischen Folge multiplizierst du mit demselben festen Faktor (dem gemeinsamen Verhältnis), sodass sie mit beschleunigender Rate wächst oder schrumpft.
Wie findet man das n-te Glied einer arithmetischen Folge?
Verwende die Formel a + (n − 1)d, wobei a das erste Glied, d die gemeinsame Differenz und n die gewünschte Position ist. Zum Beispiel ist das 6. Glied einer Folge, die bei 2 mit Differenz 3 beginnt, 2 + 5 × 3 = 17.
Wie lauten die ersten 10 Fibonacci-Zahlen?
Beginnend mit 1 und 1 sind die ersten zehn 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Jede Zahl ist die Summe der beiden davor, und du kannst die beiden Startwerte ändern, um eine Fibonacci-artige Folge mit einem anderen Anfang zu bilden.
Kann eine geometrische Folge ein negatives oder gebrochenes Verhältnis haben?
Ja. Ein gebrochenes Verhältnis zwischen 0 und 1 lässt die Glieder gegen null schrumpfen, und ein negatives Verhältnis lässt die Glieder zwischen positiven und negativen Werten wechseln, während sich ihre Größe bei jedem Schritt weiterhin um denselben Faktor ändert.
Wie berechnet man die Summe einer Folge?
Für arithmetische Reihen lautet die geschlossene Form n/2 × (2a + (n − 1)d), und für geometrische Reihen ist sie a × (rⁿ − 1)/(r − 1), wenn das Verhältnis nicht 1 ist. Beide liefern dasselbe Ergebnis wie das einfache Addieren jedes Glieds der Folge.
Was ist der Durchschnitt einer Zahlenfolge?
Der Durchschnitt ist die Summe aller Glieder geteilt durch die Anzahl der Glieder. Bei einer arithmetischen Folge entspricht er dem Mittelpunkt zwischen dem ersten und dem letzten Glied, weshalb gleichmäßig verteilte Listen einen sauberen Durchschnitt haben.
Warum besagt meine geometrische Folgensumme, dass sie zu groß ist?
Geometrische Folgen mit einem Verhältnis größer als 1 wachsen exponentiell, sodass eine ausreichend lange Folge den Zahlenbereich übersteigt, den ein Browser darstellen kann. Eine Verringerung der Gliederanzahl oder des Verhältnisses hält die Summe innerhalb eines endlichen, anzeigbaren Werts.
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