Logarithmus-Rechner
Berechne den Logarithmus einer beliebigen positiven Zahl zu einer beliebigen Basis, dazu den natürlichen Logarithmus und den Logarithmus zur Basis 2.
Gut zu wissen
Dieser Logarithmus-Rechner beantwortet eine einzige Frage: Mit welchem Exponenten muss eine Basis potenziert werden, um eine bestimmte Zahl zu ergeben? Du gibst einen positiven Wert (x) und eine Basis (b) ein, und er liefert logb(x) zusammen mit drei festen Referenzergebnissen – dem dekadischen Logarithmus (Basis 10), dem natürlichen Logarithmus (Basis e, geschrieben ln) und dem Logarithmus zur Basis 2. Er richtet sich an Schülerinnen und Schüler, die Algebra oder Vorkurs-Analysis durcharbeiten, an alle, die Hausaufgaben überprüfen, sowie an Menschen aus Bereichen wie Informatik, Akustik, Chemie oder Finanzwesen, wo Logarithmen bei pH-Werten, Dezibel, Entropie oder Wachstumsrechnungen auftauchen.
Greif darauf zurück, wenn du schnell einen Logarithmus brauchst, ohne auf einem physischen Taschenrechner die richtige Taste zu suchen, oder wenn du eine Basis benötigst, die die meisten Taschenrechner nicht direkt anbieten. Da alle drei Standardlogarithmen gleichzeitig erscheinen, eignet er sich auch zum Umrechnen zwischen ihnen oder zur Plausibilitätsprüfung, welche Basis ein Lehrbuch oder eine Formel eigentlich meint, wenn dort nur „log“ steht.
Lies das Ergebnis als Exponenten: log2(8) = 3 bedeutet, dass 2 hoch 3 gleich 8 ist. Ein ganzzahliges Ergebnis zeigt an, dass x eine genaue Potenz der Basis ist; ein Dezimalwert bedeutet, dass es zwischen zwei Potenzen liegt (zum Beispiel liegt log10 von 500 zwischen 2 und 3, weil 500 zwischen 100 und 1000 liegt). Größere Eingaben lassen den Logarithmus nur langsam wachsen – x mit 10 zu multiplizieren erhöht seinen Logarithmus zur Basis 10 nur um 1.
Ein praktischer Hinweis: Der Rechner ist nur für x > 0 und eine Basis b > 0 mit b ungleich 1 definiert, daher zeigt jede Eingabe von null, einem negativen Wert oder der Basis 1 einen Strich statt eines Fehlers an. Angezeigte Zahlen sind gerundet, sodass ein als 3 dargestelltes Ergebnis durch Gleitkomma-Arithmetik technisch 2,9999999999 sein kann; wenn du einen exakten symbolischen Wert brauchst, prüfe ihn, indem du die Basis mit dem gerundeten Exponenten potenzierst und kontrollierst, ob du wieder x erhältst.
Häufig gestellte Fragen
Warum kann ich den Logarithmus einer negativen Zahl oder von null nicht bilden?
Logarithmen sind nur für positive Werte definiert, weil kein reeller Exponent einer positiven Basis null oder ein negatives Ergebnis erzeugt. Für x ≤ 0 zeigt der Rechner einen Strich statt eines Fehlers an.
Welche Basis verwendet dieser Rechner standardmäßig?
Das Basisfeld ist standardmäßig auf 10 eingestellt (dekadischer Logarithmus), sodass log_b(x) als log₁₀ angezeigt wird, sofern du es nicht änderst. Der natürliche Logarithmus (Basis e) und der Logarithmus zur Basis 2 werden in den Kennzahlen unabhängig von der gewählten Basis stets angezeigt.
Werden meine Daten irgendwohin hochgeladen?
Nein – dieser Rechner läuft vollständig in deinem Browser; nichts wird hochgeladen.
Ist er kostenlos?
Ja, völlig kostenlos, ohne Anmeldung, ohne Werbung und ohne Einschränkungen.
Was ist der Unterschied zwischen log und ln?
„Log“ steht meist für den dekadischen Logarithmus zur Basis 10, während „ln“ der natürliche Logarithmus zur Basis e (etwa 2,71828) ist. Beide beschreiben dieselbe Art von Beziehung, aber bezogen auf unterschiedliche Basen, und du kannst zwischen ihnen umrechnen, indem du durch ln(10) teilst.
Wie berechnet man einen Logarithmus von Hand?
Bei genauen Potenzen kannst du es dir herleiten – der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist 3, weil 2 hoch 3 gleich 8 ist. Für beliebige Zahlen gibt es keine einfache Handmethode, daher verwendet man die Basiswechselformel log_b(x) = ln(x)/ln(b) mit einem Rechner oder Logarithmentafeln.
Was ist die Basiswechselformel?
Mit der Basiswechselformel kannst du einen Logarithmus zu einer beliebigen Basis aus Logarithmen berechnen, die du bereits hast: log_b(x) = log(x)/log(b) oder gleichwertig ln(x)/ln(b). Dieser Rechner verwendet sie intern, sodass er jede gültige Basis verarbeiten kann, die du eingibst.
Wofür wird der Logarithmus zur Basis 2 verwendet?
Der Logarithmus zur Basis 2 ist in der Informatik und der Informationstheorie verbreitet, weil Daten und Speicher in Zweierpotenzen skalieren. Er gibt grob an, wie viele Bits nötig sind, um eine Zahl darzustellen, oder wie oft man eine Menge halbieren kann, bevor man bei 1 ankommt.
Warum ist der Logarithmus von 1 immer null?
Jede positive Basis hoch 0 ergibt 1, also gilt log_b(1) = 0 für jede gültige Basis. Deshalb gibt dieser Rechner über alle Basen hinweg 0 zurück, wenn du den Wert 1 eingibst.
Kann ein Logarithmus negativ sein?
Ja. Der Logarithmus einer Zahl zwischen 0 und 1 ist negativ, weil die Basis mit einem negativen Exponenten potenziert werden muss, um einen Bruch zu erzeugen. Zum Beispiel ist der Logarithmus von 0,01 zur Basis 10 gleich -2, da 10 hoch -2 gleich 0,01 ist.
Was bedeutet es, wenn ein Logarithmus einen Dezimalwert hat?
Ein Dezimalergebnis bedeutet, dass die Eingabe keine genaue Potenz der Basis ist und zwischen zwei ganzzahligen Potenzen liegt. Zum Beispiel ist der Logarithmus von 50 zur Basis 10 etwa 1,7, womit 50 zwischen 10 (log 1) und 100 (log 2) liegt.
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